黎曼-斯蒂尔杰斯积分，外文名Riemann-Stieltjes integral。特点是有数种定义方式，但不是每种定义方式都是彼此等价的，提出者是斯蒂尔杰斯，性质是黎曼积分的一种推广。
定义
和黎曼积分一样，黎曼-斯蒂尔杰斯积分的定义依赖对区间分割的定义。
区间的分割
一个闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列 a = x 0 < x 1 < x 2 {displaystyle lambda } 为这些子区间长度的最大值： λ λ --> = max ( x i + 1 − − --> x i ) {displaystyle lambda =max(x_{i+1}-x_{i})} ，其中 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n − − --> 1 {displaystyle 0leq ileq n-1} 。
再定义取样分割。一个闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一个取样分割是指在进行分割 P = { a = x 0 < x 1 t i ≤ ≤ --> x i + 1 {displaystyle x_{i}leq t_{i}leq x_{i+1}} 。 λ λ --> {displaystyle lambda } 的定义同上。
精细化分割：设 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 以及 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 构成了闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一个取样分割， y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 和 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} 是另一个分割。如果对于任意 0 ≤ ≤ --> i ≤ ≤ --> n {displaystyle 0leq ileq n} ，都存在 r ( i ) {displaystyle r(i)} 使得 x i = y r ( i ) {displaystyle x_{i}=y_{r(i)}} ，并存在 r ( i ) ≤ ≤ --> j ≤ ≤ --> r ( i + 1 ) {displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)} 使得 t i = s j {displaystyle t_{i}=s_{j}} ，那么就把分割： y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} 称作分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。(即是说“设 P = { a = x 0 , x 1 , x 2 , … … --> , x n − − --> 1 , x n = b } {displaystyle P={a=x_{0},x_{1},x_{2},ldots ,x_{n-1},x_{n}=b}} 是闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 的一个分割，若分割 P ′ {displaystyle P'} 是分割 P {displaystyle P} 的一个精细化分割，则 P ⊆ ⊆ --> P ′ {displaystyle Psubseteq P'} ，也就是说，分割 P {displaystyle P} 是分割 P ′ {displaystyle P'} 的子集”)
于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。
黎曼-斯蒂尔杰斯和
对一个在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 有定义的实值函数 f {displaystyle f} ， g {displaystyle g} 关于取样分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} 的黎曼-斯蒂尔杰斯和定义为以下和式：
和式中的 Δ Δ --> g i {displaystyle Delta g_{i}} 表示 g ( x i ) − − --> g ( x i − − --> 1 ) {displaystyle g(x_{i})-g(x_{i-1})} ，故 ∑ ∑ --> i = 1 n Δ Δ --> g i = g ( b ) − − --> g ( a ) {displaystyle sum _{i=1}^{n}Delta g_{i}=g(b)-g(a)} 。
黎曼-斯蒂尔杰斯积分
当注意的是。这两个定义在黎曼-斯蒂尔杰斯积分的情况下，并不完全等价，以第一种定义可推出其存在的积分，必能以第二种定义推出其存在，但以第二种定义方式可推出其存在的积分不一定能以第一种定义的方式来计算。
第一种定义
A {displaystyle A} 是函数 f {displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上对函数 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的 ϵ ϵ --> > 0 {displaystyle psilon >0} ，都存在 δ δ --> > 0 {displaystyle delta >0} ，使得对于任意的取样分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} ，只要它的子区间长度最大值 λ λ --> ≤ ≤ --> δ δ --> {displaystyle lambda leq delta } ，就有：
第二种定义
A {displaystyle A} 是函数 f {displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上对函数 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的 ϵ ϵ --> > 0 {displaystyle psilon >0} ，都存在一个取样分割 x 0 , … … --> , x n {displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … … --> , t n − − --> 1 {displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}} ，使得对于任何比其“精细”的分割 y 0 , … … --> , y m {displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … … --> , s m − − --> 1 {displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}} ，都有：
若一个函数 f {displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上对函数 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂尔杰斯积分存在，且值为 A {displaystyle A} ，则可写作 A = ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle A=int _{a}^{b}f(x)dg(x).}
与黎曼积分间的关联
若g(x) = x时， f {displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上对函数 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂尔杰斯积分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).} 即为 f {displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上的黎曼积分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d x . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dx.} ，故从黎曼-斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼积分。
若 g ( x ) {displaystyle g(x)} 可微且其对 x {displaystyle x} 微分后的函数 g ′ ( x ) {displaystyle g'(x)} 在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 连续，则 f {displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {displaystyle [a,b]} 上对函数 g {displaystyle g} 的黎曼-斯蒂尔杰斯积分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) d g ( x ) . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)dg(x).} 与黎曼积分 ∫ ∫ --> a b f ( x ) g ′ ( x ) d x . {displaystyle int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx.} 相等
参见
黎曼积分
有界变差
